<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
    <meta charset="UTF-8">
    <title>Title</title>
</head>
<body>

<form action="" id="form">
    <input type="text" id="first"> x<sup>2</sup> +
    <input type="text" id="second"> x +
    <input type="text" id="free"> = 0<br />
    <button type="submit">Решить</button>
</form>

<script>
  // вешаем событие submit на форму
  document.getElementById('form').addEventListener('submit', answer);

  function answer(e){
    // отменяем стандартное поведение
    e.preventDefault();

    // определяем переменные
    var a = +document.getElementById('first').value,
      b = +document.getElementById('second').value,
      c = +document.getElementById('free').value,
      D,
      x1,
      x2,
      result;

    // проверяем на числа и на необходимые условия для формулы
    a = (isNaN(a) || a == 0) ? 1 : a;
    b = isNaN(a) ? 0 : b;
    c = isNaN(a) ? 0 : c;

    // вычисляем дискриминант
    D = b * b - 4 * a * c;

    // высчитываем корни исходя из результата дискриминанта
    if(D < 0) {
      result = 'Т.к. дискриминант меньше 0 (D < 0) то у данного уравнения корней небудет.';
    } else if(D > 0) {
      x1 = (- b - Math.sqrt(D)) / (2 * a);
      x2 = (- b + Math.sqrt(D)) / (2 * a);
      result = 'Т.к. дискриминант больше 0 (D > 0) то у данного уравнения будет 2 корня: x1 = ' + x1 + ' и x2 = ' + x2;
    } else {
      x1 = (- b - Math.sqrt(D)) / (2 * a);
      result = 'Т.к. дискриминант равен 0 (D = 0) то у данного уравнения будет 1 корень: x = ' + x1;
    }

    // показываем рузультат
    alert(result);
  }
</script>

</body>
</html>